网友投稿询问一道题，觉得很有意思，其实这是一个马尔科夫问题。马尔科夫解法更通用，但是很复杂以及没有考虑到一般的转移概率分布的一些特性。这解法更初等一般人更容易看明白，特别是对于正多面体得到回到原点的解，异常简单。

一蚂蚁沿着简单多面体（或者平面连通图）的边爬行，若到达一顶点，则平均随机选连接这个顶点的一边继续爬，包含爬过来的边。

蚂蚁最开始从某顶点O出发，随机乱爬，若路径碰巧返回到O点，就停止爬行。

问蚂蚁爬行全程经过顶点次数的数学期望值？出发和终止O点只算一次，中间只要经过一次顶点就算一次，或者相当于每条边都算距离1，计算爬行的长度的期望值。

解：
假设从某点A出发，第n步到达O点的概率为pn，那么期望值f(0)= ∑pnn，封闭联通图，最终所有都会到达终点，有∑pn=1。

如果已经m步到达A再出发，那么到达O点的步数都延后m步，所以期望值

f(m)= ∑pn(n+m)= ∑pnn+ ∑pn*m=m+f(0) (1)

显然期望值对于起点步数线性。如果没有这一步直接得到（2）其实是有点缺乏严密性的，这一步很多直接用但是这一步不是太显然。

O点标记为第一点。设平面图顶点An出发到顶点O的距离期望值是an，顶点An的边是bn，O点出发再到O点的长度期望值是x。

对于O点a1=0
对于点其它An有：
an=1/bn ∑fk(1)=1+1/bn∑ak，(2）所有和An相连的顶点求和。
有了（1），得到（2）更好理解。

x=1+1/b1*∑ak。

求解方程就得到任意点出发到达O的路径期望值了。对于x还相当好求。

变形一下几个等式：
a1=0
bn*an=bn+∑ak (3)
b1*x=b1+∑ak

所有等式相加，除了未知数x以外，其它未知数抵消，
b1*x=∑bn=2E ，E为连通图的边。
x=2E/b1

如果是正多面体，会有很简化的结果，得到，x=n。

没想到问题结果是这么简单漂亮。现实正多面体只有简单的几个，其实连通图还有更多形式的正多面体，连通图的“正多面体”只要是每个点都是相同的边就行。

没理解方程的可以对照下图更好理解，下图A点就是O点。

第一次发的没有错，只是把a1没有独立出来直接当成x，为了照顾和O连通的点，构造了一个cn，比较麻烦以及没那么容易理解。还有没有推导（1），直接得到（3）的另外一个表达式，不太容易理解。